Suhtematemaatika

Ka neil, kelle jaoks matemaatika vastupandamatult ebameeldiv ning kuiv tasuks seda postitust lugeda😉 Mitte minu blogi populaarsuse kõrgemaks ajamiseks vaid ainuüksi lihtsal põhjusel, et seda seadust rakendades on teil kõige suurem võimalus teha õige otsus nii maja ostmisel, vajaliku töötaja leidmisel, elukaaslase valikul kui paljudel teistel valikutega seotud otsuste vastuvõtmisel. Partneri puhul kostab kole ebaromantiline ja vaevalt keegi seda reeglit nii jälgiks, kuid arvatavasti oleks vähem lahutusi kui inimesed oma suhteelu reguleerimisel matemaatikat kasutaksid😜

37% seadus on äärmiselt lihtne lahendus keerulisele probleemile: kuidas teha parim valik juhuslikult ette antud objektide vahel.  Esimeseks sammuks on ilma pikemalt mõtlemata loobuda esimestest valikutest ükskõik kui head need tunduvad ... kuni jõuad kindlale piirile, millest edasi võtad vastu esimese valiku, mis tundub parem kui kõik senivaadeldud. Ilmselgelt tekib küsimus, aga milline on see piir või moment.

Suhteliselt lihtsa matemaatika tulemusel (mida asjast huvitatud võivad postituse lõpus näha) saame järgmise tõenäosuse funktsiooni (r on objektide hulk ehk valimi suurus):

Eesmärgiks maksimaalne tõenäosus, mille annab x väärtus 1/e = 0.367879 mis huvitaval kombel tänu matemaatika seadustele on ka funktsiooni väärtuseks 0.367879 = 37%. Seega on matemaatiliselt kõige suurem tõenäosus leida parim objekt kui hüljata kõik enne 37%'ni jõudmist ja siis võtta esimene, kes on parem kui kõik eelnevad. 

Ideaalse matemaatilise mudeli juures tulevad mängu mõningad kitsendavad reeglid: esiteks tohib valida vaid üks kord ja teiseks tuleb ette teada valiku suurust r sest muidu pole võimalik arvutada millisel momendil saabub 37% r'st kui tuleks hakata valikut tegema.

37% parima valiku võimalus sellise "kirve" meetodiga ei tundu just kõige parem tulemus kuid kui võrrelda täiesti juhusliku valikuga mis on 1/r (100 puhul vaid 1%, 10 puhul 10%) vägagi hea tõenäosus. Meetodi suureks eeliseks on aja ja närvikulu minimiseerimine - maja ostmisel või uue töötaja leidmisel täiesti rakendatav - määrad ette ära milline on valiku hulk ja siis teed kiire otsuse valides parima peale esimese 37% hülgamist. 

Päriselus pole olukord kunagi ideaalne, kaaslase valikul võid (hea õnne korral) uuesti proovida varem hüljatut kui algul arvasid, et ehk on kuskil parem. Teisest küljest ei tea ju kunagi ette kui suureks kujuneb valiku hulk. Paraku selge, et mida edasi ja vanemaks saades, seda vähem ja ilmselt ka viletsama kvaliteediga uusi partnereid silmapiirile ujub. Tagumises otsas meeleheitlikult otsides oled nii või teisiti 37% piirist kaugel möödas. Käsitletud matemaatika heaks indikaatoriks, et mida kaugemale 37%'st edasi lükkad valiku tegemise, seda väiksemaks jääb "selle õige" leidmise võimalus. Võiks lausa puudulikku koolimatemaatika omandamist süüdistada suures vanatüdrukute ja vanapoiste arvus😁

P.S. Kui otsida mitte absoluutselt parimat vaid näiteks leppida parimaga top 5% või 10% hulgast saad otsuse teha varem ja saad ka palju suurema tõenäosusega valiku parima 5% või 10% hulgast. Maja või auto puhul täiesti vastuvõetav, isegi partneri puhul pole paha kui alternatiiviks oleks üksijäämine😉

P.P.S. Pean piinlikkusega tunnistama, et ise tegin valiku puhtromantilistel alustel täiesti ebaratsionaalselt, läks õnneks ristivastu tõenäosusele😝

Järgneb inglisekeelne matemaatiline selgitus ja tõestus:

Well, let’s say the stopping point is the mth applicant – everybody up to then gets rejected. Now, if the best applicant is the (m+1)th, congratulations, you’ll accept them and have the best possible hire.

But what if the best applicant is the (m+2)th? Well, then we have two ways this could go: either the (m+1)th was better than the first m, but not the best possible, in which case bad luck – you don’t get the best applicant, because you already chose their predecessor – or you rejected the (m+1)th and accept the (m+2)th. 

Now, naturally, we want the second scenario, not the first – so here’s some good news: out of all arrangements of the first (m+1) applicants, there are only 1/(m+1) scenarios in which you’ll accept the (m+1)th rather than the (m+2)th. That means there are still m/(m+1) scenarios in which you hold out and get the best.

Okay, so what if the best applicant is sitting at (m+3)? Well, they get accepted only if neither applicant (m+1) nor applicant (m+2) beat everyone before them – and that happens in only 2/(m+2) of cases. Again, that means that you hold out for the best in m/(m+2) cases.

Perhaps you’re seeing a pattern already: in general, if the nth applicant is the best, they’ll be accepted m/(n – 1) times out of (n – 1).

As we let n grow to infinity, this pattern becomes a limit. “The probability, ϕ(r), of selecting the best applicant is 1/n for r = 1,” Ferguson explains, “and, for r > 1 […] the sum becomes a Riemann approximation to an integral

Now the question is: how do we maximize that value? And the answer is actually pretty simple: you set x to be 1/e, which is roughly 0.368. 

Because of the way that logarithms and exponents work, this means that ϕ(r) = 0.367879… too. In other words, “it is approximately optimal to wait until about 37% of the applicants have been interviewed and then to select the next relatively best one,” explained Ferguson. “The probability of success is also about 37%.”